Eléments d’interprétation
Pour comprendre, pourquoi l’amplitude et la phase du mouvement en régime sinusoïdal permanent dépendent de la fréquence de la force d’excitation, il faut se référer aux points suivants :
Parmi les forces qui déterminent le mouvement d’un système masse + ressort + amortisseur, la force d’inertie, la force d’amortissement et la force exercée par le ressort, dépendent respectivement, de l’accélération, de la vitesse et du déplacement de la masse.
Pour un mouvement sinusoïdal d’amplitude donnée, lorsque la fréquence est multipliée par 10, la durée d’un aller-retour est divisée par 10. Il en résulte que la masse parcours la même distance, 10 fois plus vite. Sa vitesse est donc multipliée par 10. Cette vitesse, 10 fois plus élevée, est atteinte sur la durée d’un aller-retour, qui est 10 fois plus petite. L’accélération est donc multipliée par 100.
Autrement dit, pour un mouvement sinusoïdal d’amplitude donnée, la vitesse est proportionnelle à la fréquence du mouvement et l’accélération est proportionnelle au carré de cette fréquence. Lorsque la fréquence d’excitation, et par conséquent la fréquence du mouvement, change, il en résulte que les poids relatifs des amplitudes de la force d’inertie, de la force d’amortissement et de la force exercée par le ressort, ne sont plus les mêmes. C’est là l’origine de la réponse en fréquence.
Pour un mouvement sinusoïdal, les instants auxquels la vitesse s’annule sont décalés dans le temps par rapport aux instants auxquels le déplacement s’annule et il en est de même des instants auxquels respectivement la vitesse et l’accélération s’annulent. Pour interpréter physiquement ces décalages dans le temps, entre les variations du déplacement, de la vitesse et de l’accélération, il faut traduire correctement les signes de ces grandeurs en termes de vocabulaire courant :
- Lorsque la vitesse est de même signe que le déplacement, la masse s’écarte de la position nulle. Elle s’en rapproche lorsque la vitesse et le déplacement sont de signes contraires. Le passage de la masse par la position nulle correspond donc à un changement de signe du déplacement, sans changement de signe de la vitesse.
- Lorsque l’accélération est de même signe que la vitesse, le mouvement de la masse est accéléré. Il est décéléré lorsque l’accélération et la vitesse sont de signes contraires. Une accélération suivie d’une décélération correspond donc à un changement de signe de l’accélération, sans changement de signe de la vitesse.
Exemples : Lorsque le déplacement est maximal et négatif, la vitesse est nulle. Partant de cette position, lorsque la masse se déplace vers sa position nulle, sa vitesse est positive et son mouvement est accéléré. L’accélération est donc positive, alors que le déplacement est négatif. Lorsque la masse dépasse sa position nulle, sa vitesse reste positive, mais le mouvement est décéléré. L’accélération devient donc négative, lorsque le déplacement devient positif. La vitesse de la masse s’annule à nouveau lorsque le déplacement est maximal et positif. Partant de cette position, la vitesse de la masse est négative et son mouvement est accéléré. L’accélération est donc elle aussi négative. On aboutit ainsi à la conclusion que l’accélération et le déplacement sont toujours de signes opposés.
comportements asymtotiques
Lorsque la fréquence d’excitation diminue, la vitesse et l’accélération du mouvement diminuent. Lorsque cette fréquence tend vers zéro, la force d’inertie et la force d’amortissement finissent par devenir négligeables devant la force exercée par le ressort. Tout se passe alors, comme si la force exercée sur le système masse + ressort + amortisseur, était exercée sur le seul ressort.
Dans ce cas :
- Pour créer un mouvement, la force exercée doit déformer le ressort. Cette déformation entraîne le déplacement de la masse. Le mouvement de la masse est donc en phase avec la force d’excitation.
- Pour une force d’excitation d’amplitude donnée, l’amplitude du mouvement ne dépend pas de la fréquence, tant que les forces liées à la vitesse et à l’accélération du mouvement sont négligeables.
Lorsque la fréquence d’excitation augmente, la vitesse et l’accélération du mouvement augmentent. Mais comme cela a déjà été dit, l’accélération augmente beaucoup plus rapidement que la vitesse. Lorsque la fréquence d’excitation tend vers l’infini, la force d’amortissement comme la force exercée par le ressort, finissent donc par devenir négligeables devant la force d’inertie. Tout se passe alors, comme si la force exercée sur le système masse + ressort + amortisseur, était exercée sur une masse.
Dans ce cas :
- Le mouvement résulte de l’accélération produite par la force exercée. Mais, comme cela a déjà été dit, pour un mouvement sinusoïdal, l’accélération et le déplacement sont de signes opposés. On observe donc une opposition de phase entre la force exercée et le déplacement de la masse.
- Pour une force d’excitation d’amplitude donnée, l’amplitude de l’accélération créée par cette force ne dépend pas de fréquence. Lorsque la fréquence augmente, l’amplitude du mouvement diminue donc, comme le carré de la fréquence, et elle tend vers zéro lorsque la fréquence tend vers l’infini.
Résonance
Pour un mouvement sinusoïdal, il existe une fréquence à laquelle l’amplitude de la force d’inertie de la masse devient égale à l’amplitude de la force exercée par le ressort. Comme le déplacement et l’accélération sont toujours de signes opposés, la force exercée par le ressort et la force d’inertie de la masse s’équilibrent à cette fréquence. Cette fréquence est celle du mouvement du système en l’absence de force d’excitation et de force d’amortissement. Il s’agit de la fréquence du mouvement libre du système masse + ressort. Lorsque la fréquence d’excitation est égale à cette fréquence, même si la force d’amortissement est faible en comparaison de la force exercée par le ressort et de la force d’inertie de la masse, elle devient prédominante par rapport à la somme de ces deux forces. Tout se passe alors, comme si la force exercée sur le système masse + ressort + amortisseur était exercée sur l’amortisseur seul.
Dans ce cas :
- La masse et le ressort s’échangent alternativement de l’énergie, comme pour un mouvement libre du système masse + ressort, et la force exercée sur la masse sert uniquement à fournir au système l’énergie transformée en chaleur dans l’amortisseur.
- La force exercée sur la masse varie en proportion de la vitesse du mouvement. Cette vitesse est nulle lorsque le déplacement est maximal et maximale lorsque le déplacement est nul. On observe donc que la force exercée sur la masse et le déplacement de la masse sont en quadrature de phase.
- L’amplitude du mouvement correspond à l’égalité des amplitudes de la force d’excitation et de la force d’amortissement. Pour une force d’excitation donnée, plus la constante d’amortissement du système est faible, plus la vitesse doit être élevée pour que la force d’amortissement équilibre la force d’excitation. Pour un système faiblement amorti, il en résulte qu’une faible force d’excitation peut créer un mouvement permanent de très grande amplitude. C’est le phénomène de résonance.
Remarques
La mise en résonance d’un système peut conduire à sa destruction. En effet, à un grand déplacement de la masse correspond une forte déformation du ressort, donc des efforts importants, dont il peut résulter une rupture. Le danger n’est pas lié à la valeur de la force d’excitation, mais à sa fréquence. Lorsque la fréquence d’excitation est égale à la fréquence propre du système masse + ressort, le mouvement créé par la force et le mouvement naturel du système se confondent. Dans ce cas, la force exercée sur le système et la vitesse du mouvement se mettent en phase. Il en résulte que la force exercée sur la masse est toujours dans le sens du déplacement de cette masse. Elle fournit donc en permanence de l’énergie au système. Tant que cette force n’est pas équilibrée par la force d’amortissement, une partie de l’énergie fournie au système augmente l’amplitude du mouvement. Si la valeur de la force est faible, le nombre d’aller-retour nécessaires pour que l’énergie fournie conduise à la destruction du système sera plus élevé, mais si la force agit suffisamment longtemps, cette destruction se produira. Il importe donc de ne pas raisonner en statique, mais en dynamique.
On démontre que la fréquence de résonance n’est pas égale à la fréquence propre du système masse + ressort, ni même à la pseudo-fréquence du système masse + ressort + amortisseur. Cependant, dans le cas d’un système peu amorti, ces trois fréquences sont de valeurs proches et peuvent être confondues.
Pour un déplacement d’amplitude constante, le tracé de l’amplitude de la vitesse en fonction de la fréquence serait une droite et le tracé de l’amplitude de l’accélération ce serait une parabole. Ainsi, les lois de variation des amplitudes du déplacement, de la vitesse et de l’accélération ne sont pas les mêmes en fonction de la fréquence. Pour un déplacement d’amplitude variable en fonction de la fréquence, il en résulte que les amplitudes du déplacement, de la vitesse et de l’accélération ne sont pas maximales aux mêmes fréquences. Cependant, les écarts entre ces fréquences sont faibles.
