La théorie de l’élasticité étudie les effets de forces extérieures ou de variations de température sur la forme et la résistance d’un solide.
Cette théorie comporte quatre volets principaux :
- expressions des déformations de la matière en un point (variations relatives de longueur et variations angulaires), en fonction du champ de déplacements (déplacements de tous les points du solide),
- définitions des contraintes en un point (forces normales et forces tangentielles par unité de surface) et écriture des conditions d’équilibre d’un volume élémentaire de matière,
- établissement de relations de proportionnalité entres les déformations et les contraintes en un point (lois de comportement d’un matériau dans le cadre de l’élasticité linéaire),
- recherche de critères portant sur les contraintes calculées, à vérifier pour s’assurer de l’absence de déformations plastiques (qui ne disparaissent pas lorsqu’on supprime les charges).
La théorie de l’élasticité s’intéresse à des grandeurs locales et aux variations de ces grandeurs à l’intérieur d’un solide, dans les trois directions de l’espace. Mathématiquement, ces variations sont traduites par des équations différentielles.
Pour déterminer les contraintes, déformations et déplacements en tous points d’un solide, il faut intégrer les équations de l’élasticité sur l’espace géométrique occupé par le solide, et trouver la solution compatible avec les conditions de déplacements et de charges qui sont imposées au solide.
Pour des formes de solides et des conditions imposées quelconques, cette solution ne peut être obtenue qu’en utilisant une méthode de résolution numérique (discrétisation du solide en éléments finis).
Des solutions analytiques peuvent cependant être trouvées dans quelques cas particuliers, pour lesquels la forme du solide et les conditions imposées le permettent. On dispose ainsi d’expressions exactes, des contraintes et des déplacements, dans le cas d’une sphère d’épaisseur constante, soumise à des pressions intérieure et extérieure uniformes. Mais ces cas sont peu nombreux et déjà résolus. Il ne faut donc pas considérer leur présentation dans le cadre d’un cours d’élasticité comme étant un entraînement à la résolution de problèmes d’élasticité. Il s’agit essentiellement d’exemples permettant d’illustrer les concepts sur lesquels repose cette théorie.
La théorie des poutres est parfois présentée comme un cas d’application de la théorie de l’élasticité. Mais dans ce cas, pour pouvoir intégrer les équations de l’élasticité, il faut considérer des restrictions de formes géométriques et de chargements. Ces restrictions sont parfois si fortes que la solution du problème peut être trouvée par une approche plus directe qui ne nécessite pas d’introduire la notion de champ de déplacements. On peut ainsi obtenir des formules de calcul dans le cas de la traction et de la flexion des poutres, en posant des hypothèses simplificatrices, basées sur des observations expérimentales. Ce sont ces formules que l’on retient le plus souvent d’un cours de résistance des matériaux.
Le chapitre sur l’élasticité ne contient que les quelques notions utiles à la compréhension du cours de résistance des matériaux. Mais attention, les hypothèses simplificatrices utilisées en résistance des matériaux ne sont pas vérifiées dans tous les cas. En particulier, l’étude de la torsion des poutres de section non circulaires ne peut pas être effectuée sans recourir aux équations issues de la théorie de l’élasticité.
En conclusion, on retiendra que toutes les formules de calcul des contraintes que l’on trouve dans des formulaires ne sont pas des formules démontrées à partir des hypothèses simplificatrices de la résistance des matériaux. Certaines ont été démontrées en utilisant la théorie de l’élasticité. D’autres ne sont que la compilation d’une multitude de résultats numériques obtenus en effectuant des mesures ou en utilisant des logiciels de calcul par éléments finis.
La résistance des matériaux ne constitue ainsi qu’une partie du calcul des structures. Par rapport à l’élasticité, l’inconvénient de cette approche simplifiée est qu’elle masque la complexité des problèmes. Mais en contrepartie, elle contribue fortement au développement de sens physique.
